Kontingenzkoeffizient
Der Kontingenzkoeffizient \(C\) ist ein weiteres auf \(\chi^2\)-basiertes Zusammenhangsmaß. Es kann angewendet werden, wenn beide Variablen mindestens nominalskaliert sind. Idealerweise wird er erst angewendet, wenn beide Variablen mehr als drei Ausprägungen haben (mind. \(3x3\) Tabelle). Bei \(2x2\) Tabellen sollte stattdessen \(\phi\) genutzt werden.
Der Kontingenzkoeffizient \(C\) berechnet sich nach folgender Formel: \(C = \sqrt {\frac {\chi^2}{\chi^2 + N}}\)
Wichtig bei der Interpretation von \(C\) ist, dass der Maximalwert von C von der Zahl der Ausprägungen der Variablen abhängt. \(C\) kann also nur interpretiert werden, wenn auch der Wert von \(C_{max}\) berechnet wurde. Auch wird so der Vergleich verschiedener Werte von \(C\) erschwert.
Die Formel zur Berechnung des Maximums lautet: \(C_{max} = \sqrt{\frac{R-1}{R}}\), wobei \(R = min(k,m)\) ist.
Kommen wir zu einem Beispiel zwischen dem Universitätswahl und Wohnort. Wir haben folgende Kreuztabelle zwischen beiden Variablen:
Der Wert von \(\chi^2\) beträgt: \(\chi^2 \approx 545.89\).
Damit können wir nun den Kontigenzkoeffizienten \(C\) berechnen: \[\begin{align*} C &= \sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2 + N}} \\ &= \sqrt{\frac{545.89}{545.89 + 1150}} \\ &\approx 0.567 \end{align*}\]
Der maximale Wert beträgt bei dieser \(3x3\) Tabelle: \[ \begin{align*}C_{max} &= \sqrt{\frac{R - 1}{R}} \\ &= \sqrt{\frac{3-1}{3}} \\ &\approx 0.667 \end{align*}\]
In diesem Beispiel ist also der Zusammenhang zwischen den zwei nominalskalierten Variablen Wohnort und Universitätswahl stark. Der errechnete Wert des Kontingenzkoeffizienten \(C\) kommt recht nah an den Wert von \(C_{max}\).