Als besondere Form der Normalverteilung gibt es noch die Standardnormalverteilung: Diese liegt vor, wenn Erwartungswert \(\mu = 0\) ist und die Varianz \(\sigma^2 = 1\) und die Standardabweichung \(\sigma = 1\) ist.
Man erreicht eine Standardnormalverteilung durch eine Transformation der Rohwerte. Diese Transformation wird z-Transformation genannt. Mit Hilfe der z-Transformation kann auf die relative Position innerhalb einer Verteilung geschlossen werden. Der numerische Wert informiert über die Distanz zwischen dem Rohwert und dessen Mittelwert in der Einheit Standardabweichungen. Ein z-Wert von 1.33 bedeutet, dass der Rohwert 1.33 Standardabweichungen vom Mittelwert (\(z\)-Wert = 0) abweicht. Das Vorzeichen des z-Wertes gibt dabei an, ob sich der jeweilige Wert unterhalb (\(-\)) oder oberhalb (\(+\)) des Mittelwertes (\(\bar{x}\)) befindet.
Gleichzeitig gehen aber Informationen über die absoluten Abstände zwischen den Messwerten verloren. Die z-Transformation weist immer die exakt gleiche Form wie die Originalverteilung auf.
Die z-Transformation erfolgt nach der Formel: \(z_{i} = \frac { (x_{i} - \bar{x})} {s}\)
Vom entsprechenden \(x\)-Wert wird der Mittelwert (\(\bar{x}\)) subtrahiert und das Ergebnis durch die Standardabweichung (\(s\)) dividiert. Abschließend erhält man dann eine z-transformierte Verteilung (Standardnormalverteilung) mit Mittelwert von \(\bar{x} = 0\) und Standardabweichung von \(s=1\) sowie Varianz von \(s^2=1\).
Bei der Transformation wird vereinfacht gesagt, die Differenz eines gemessenen Wertes vom Mittelwert an der Standardabweichung relativiert wird. Dadurch erhält man die relative Position eines Wertes.
Die Verteilungswerte der Standardnormalverteilung sind in nahezu jedem Statistikbuch abgedruckt und müssen für Hypothesentests (siehe Lernmodul 4) nicht einzeln berechnet werden.
Siehe auch: Gehring & Weins (2009, Kapitel 10.3.1).