Pearson's r
Die Korrelation nach Pearson ist ein Standardmaß für den Zusammenhang zwischen zwei metrischen Variablen. Eine weitere Voraussetzung für dieses Maß ist, dass der Zusammenhang linear und monoton ist.
Bei der Berechnung einer Korrelation nach Pearson sollte daher immer ein Scatterplot der zwei zu untersuchenden Variablen ausgegeben werden, um diese zwei Annahmen zu überprüfen. Dies wird im folgenden Lernvideo dargestellt. Ein weiteres Beispiel folgt im Text nach dem Lernvideo.
Die Grafik zeigt einen Scatterplot zwischen Körpergröße in cm und Körpergewicht in kg. Man kann erkennen, dass der Zusammenhang linear und monoton ist.
Der Korrelationskoeffizient für diese zwei Variablen beträgt \(r = 0.801\). Es besteht also ein starker positiver Zusammenhang. Da die Punkte (Fälle) nicht alle auf einer Linie liegen, weicht der Korrelationskoeffizient von \(1\) ab.
Wir können den Korrelationskoeffizienten wie folgt interpretieren: Je höher die Körpergröße ist, desto höher ist auch das Gewicht bzw. je höher das Gewicht ist, desto höher ist auch die Körpergröße.
Beispiel
Kommen wir nun zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten nach Pearson: Die Berechnung des Korrelationskoeffizienten beruht auf der Kovarianz der Variablen. Die Kovarianz ist ähnlich der Varianz, sie umfasst die quadrierten Abstände zum Mittelpunkt. Der Mittelpunkt ist hier nur nicht auf eine Variable bezogen, sondern man nimmt den bivariaten Schwerpunkt \((\bar{x}; \bar{y})\), der die zwei Mittelwerte beider Variablen darstellt. Die Korrelation gibt an, wie eng die Wertepaare zweier Variablen um eine fiktive Gerade liegen. Sie gibt nicht an, wie steil diese Gerade ist.
Dabei gilt für die Variablen \(x\) und \(y\):
\(X = (x_1, x_2, x_3, ..., x_n)\) \(Y = (y_1, y_2, y_3, ..., y_n)\)
Die Korrelation berechnet sich für Werte aus einer Grundgesamtheit wie folgt: \[\begin{align*}r&= \frac {cov(x;y)}{s_x \ast s_y} \\ &= \frac { \frac{1}{n} \ast \sum\limits_{i=1} ^n (x_i - \bar{x}) \ast (y_i - \bar{y})} {\sqrt { \frac {1} {n} \ast \sum \limits_{i=1} ^n (x_i - \bar{x})^2 ) \ast \frac {1} {n} \ast \sum \limits_{i=1} ^n (y_i - \bar{y})^2})} \end{align*}\]
Dabei ist die Kovarianz \(cov(x;y)\) als durchschnittliche Abweichung vom bivariaten Schwerpunkt zu verstehen, analog zur Varianz. \[\begin{align*}cov(x;y) &= \frac {1} {n} \ast \sum \limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) \ast (y_i - \bar{y}) \\ &= \frac {1} {n} \ast \sum\limits_{i=1}^n x_i \ast y_i - \bar{x} \ast \bar{y} \end{align*}\]
Beispielrechnung: Im Beispiel wollen wir nun die Korrelation zwischen Alter (offene Abfrage) und Wahlpräferenz CDU (Skala 0 (sehr unwahrscheinlich) bis 100 (sehr wahrscheinlich)) berechnen. In diesem Rechenbeispiel verkleinern wir die Stichprobe zu Illustrationszwecken auf 5 Personen. Am Ende der Seite finden Sie die Berechnung auch in einem Lernvideo erklärt.
Das Scatterplot für diese Daten sieht wie folgt aus: Die blauen Punkte bilden unsere fünf Datenpunkte und die gestrichelte Linie ist bereits eine Trendlinie der Korrelation. Wir sehen, dass der Zusammenhang annähernd monoton und linear ist.
Für die Berechnung der Korrelation benötigen wir entsprechend der Formel die Varianz der Variablen und die Kovarianz, wofür wir wiederum die Mittelwerte benötigen.
1) Berechnung der Mittelwerte Für Alter: \[\begin{align*}\bar{x} &= \sum\limits_{i=1}^5 \frac {x_i} {5} \\ &= \frac {19 + 34 + 27 + 56 + 69}{5} \\ &= 41 \end{align*}\]
Für Präferenz CDU: \[\begin{align*}\bar{y} &= \sum\limits_{i=1}^5 \frac {y_i} {5} \\ &= \frac {24 + 41 + 20 + 74 + 81}{5} \\ &= 48 \end{align*}\]
2) Berechnung der Varianz und Standardabweichung von x und y:
\[\begin{align*}s_{x}^2 &= \frac {1}{n} \ast \sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \\ &= \frac {1} {5} \ast [(19-41)^2 + (34-41)^2 + (27-41)^2 + (56-41)^2 + (69-41)^2] \\ &= 347.6 \end{align*}\]
\[\begin{align*}s_x &= \sqrt s^2_{x} \\ &= \sqrt 347.6 \\ &\approx 18.64 \end{align*}\]
\[\begin{align*}s_{y}^2 &= \frac {1}{n} \ast \sum\limits_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2 \\ &= \frac {1} {5} \ast [(24-48)^2 + (41-48)^2 + (20-48)^2 + (74-48)^2 + (81-48)^2] \\ &= 634.8 \end{align*}\]
\[\begin{align*}s_y &= \sqrt s^2_{y} \\ &= \sqrt 634.8 \\ &\approx 25.20 \end{align*}\]
3) Nun muss noch die Kovarianz berechnet werden: \[\begin{align*}cov(x;y) &= \frac {1} {n} \sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) \ast (y_i - \bar{y}) \\ &= \frac {1}{5} \ast [((19-41) \ast (24-48)) + ((34-41) \ast (41-48)) + ((27-41) \ast (20-48)) + ((56-41) \ast (74-48)) + ((69-41) \ast (81-48))] \\ &= \frac {1}{5} \ast (528+49+392+390+924) \\ &= 456.6 \end{align*}\]
4) Einsetzen in Formel für Pearson’s r \[\begin{align*} r &= \frac {cov(x;y)}{s_x \ast s_y} \\ &= \frac {456.6} {18.64 \ast 25.20} \\ &\approx 0.972 \end{align*}\]
In diesem Beispiel ist also die Korrelation zwischen den Variablen Alter und Präferenz für die CDU positiv und bildet einen sehr starken Zusammenhang aus \(r=0.972\).