Gamma
\(\gamma\) ist ein PRE-Maß und wird angewendet, um den Zusammenhang zweier Merkmale, deren Skalenniveau mindestens ordinal ist, in einer Kreuztabelle zu überprüfen. Hierbei werden die Zahl konkordanter Paare \(C\) (\(x_i < x_j\)) und diskonkordanter Paare \(D\) (\(y_i < y_j\)) in Relation gesetzt. Im Unterschied zu anderen Zusammenhangsmaßen bleiben sogenannte Ties außen vor. Ties werden auch Rangbindungen genannt. Diese liegen vor, wenn mehrere Fälle denselben Rang in der geordneten Datenstruktur vorliegen. Wenn wir zum Beispiel das Klausurergebnis einer Prüfung nehmen, werden mehrere Personen 8 Notenpunkte erhalten und erhalten dann in der geordneten Auflistung denselben Rang, da unter den Personen mit 8 Notenpunkten keine weitere Rangfolge zu bilden ist. Dies ist eine Schwäche von \(\gamma\), da der Koeffizient so bei Vorliegen von ties einen zu hohen Wert ausgibt.
Die Gesamtanzahl zweier Variablen wird wie folgt berechnet: $Anzahl , möglicher , Paare = $
Beispiel
Nehmen wir folgendes Beispiel des höchsten Bildungslevels und des gruppierten Einkommens:
Die konkordanten (\(N_C\) und diskonkordanten (\(N_D\)) Paare lassen sich aus der Kreuztabelle auslesen.
Dazu nehmen wir diese leicht veränderte Tabelle, in der wir pro Zelle einen Buchstaben eingetragen haben:
Die Paare sich wie folgt zählen: \[\begin{align*}N_C &= a(e + f) +b(f) \\ &= 500(400+300) + 200(300) \\ &= 410000 \end{align*}\]
\[\begin{align*}N_D &= c(d+e) +b(d) \\ &= 100(200+400) + 200(200) \\ &= 100000 \end{align*}\]
Die Gesamtzahl ergibt sich wie folgt: \(Anzahl \, möglicher \, Paare = \frac{N(N-1)}{2} = 1444150\). Hier wird bereits deutlich, dass durch das Nicht-Beachten der Ties viele Wertepaare nicht berücksichtigt werden. Denn \(N_C + N_D = 510000\).
Die Formel für \(\gamma\) lautet wie folgt: \(\gamma = \frac{N_C - N_D}{N_C + N_D}\)
Im Beispiel erhalten wir folgende Werte: \[\begin{align*}\gamma &= \frac{410000 - 100000}{410000+100000} \\ &= \frac{310000}{510000} \\ &\approx 0.608 \end{align*}\]