Median

Der Median ist jene Ausprägung/Wert, welcher die Verteilung genau in zwei gleich große Abschnitte teilt. Der Median ist der Wert, der in einer geordneten Liste genau in der Mitte liegt, d.h. dass sich genauso viele Werte oberhalb wie unterhalb des Wertes befinden (jeweils 50%50\% der Fälle). Folglich setzt der Median eine Ordnung der Werte voraus und damit ein ordinales Skalenniveau. Sowohl bei der Berechnung des Medians als auch beim ordinalen Skalenniveau sind die Werte der Größe nach sortiert.

Je nachdem, ob man eine ungerade Anzahl an Fällen (nn) oder gerade Anzahl an Fällen hat, wird der Median unterschiedlich berechnet. Das Zeichen für den Median ist: x~:Median\tilde{x}: Median

Formel bei ungeradem nn: x~=xn+12\tilde{x}= x_{\frac {n+1}{2}}

Formel bei geradem nn: x~=12(xn2+xn2+1)\tilde{x} =\frac{1}{2} \ast (x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1})

Dazu zwei Rechenbeispiele: Wir betrachten die Schulnoten von 1010 Personen (n=10n=10). Wir haben also ein gerades n und wenden die zweite Formel an:

Häufigkeitstabelle
Häufigkeitstabelle

Wir können den Median daher wie folgt berechnen:

x~=12(xn2+xn2+1)=12(x102+x102+1)=12(x5+x6)\tilde{x} =\frac{1}{2} \ast (x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1})=\frac{1}{2} \ast (x_{\frac{10}{2}} + x_{\frac{10}{2}+1})=\frac{1}{2} \ast (x_5 + x_6)

Der Median liegt somit zwischen den Werten an der an der 5. (x5x_5) und 6. Stelle (x6x_6). Es ist sozusagen der „fünfeinhalbste Wert“. Dazu müssen wir die Werte in eine geordnete Reihe der Fälle bringen:

1,1,2,3,3,4,4,4,5,5=x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x101, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 = x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10

An der 5. bzw. 6. Stelle dieser geordneten Reihe der Fälle finden wir:

x5=3x_5 =3 und x6=4x_6=4

Dies setzt man nun in die Formel von oben ein:

x~=12(x5+x6)=12(3+4)=3.5\tilde{x}=\frac{1}{2} \ast (x_5 + x_6) = \frac{1}{2} \ast (3+4) = 3.5

Daher beträgt der Median der Schulnoten in diesem Beispiel den Wert 3,5 (x~=3.5\tilde{x}=3.5). Das heißt 50%50\% der befragten Personen haben eine bessere (kleinere) Note und 50%50\% haben eine schlechtere (höhere) Note.

Wenn wir die Schulnoten von nur 99 Personen (n=9n=9) betrachten, wenden wir die erste Formel für ein ungerades nn an:

Häufigkeitstabelle
Häufigkeitstabelle

x~=12(xn2+xn2+1)=x9+12=x102=x5\tilde{x} =\frac{1}{2} \ast (x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}) = x_{\frac{9+1}{2}}=x_{\frac{10}{2}} = x_{5}

Hier ist der Median an der Stelle 5 (x5x_5). Dazu müssen wir die Werte wieder in eine geordnete Reihe der Fälle bringen:

1,1,2,3,3,4,4,4,5=x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x91, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5 =x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9

An der 5. Stelle dieser geordneten Reihe finden wir:

x5=3x_5 =3

Der Median dieser Verteilung liegt als beim Wert 3 (x~=3\tilde{x}=3). 50%50\% der befragten Personen haben eine bessere (kleinere oder gleichgroße) Note und 50%50\% haben eine schlechtere (höhere) Note.

Siehe auch: Gehring & Weins (2009, Kapitel 6.1).