z-Standardisierung
Die z-Transformation wird auch als Standardisierung bezeichnet. Nach der Transformation sind die Werte nicht mehr in den Originalmaßeinheiten gemessen, sondern in Vielfachen der Standardabweichung des Merkmals.
Aus Rohwerten (x-Werte) kann häufig nur sehr bedingt auf deren relative Position innerhalb einer Verteilung geschlossen werden, das arithmetische Mittel und die Standardabweichung vermitteln zusätzliche Informationen. Werden Rohwerte in z-Werte transformiert, erhält man anhand der Berücksichtigung des arithmetischen Mittels und der Standardabweichung exakte Informationen über die relative Position des jeweiligen Rohwertes. Der Mittelwert von z-transformierten Merkmalen ist immer 0 (xˉ=0).
Die z-Transformation wird wie folgt berechnet:
zi=sxi−xˉ
Das Vorzeichen z-transformierter Werte gibt an, ob sich der jeweilige Wert oberhalb (+) oder unterhalb (−) des Mittelwertes befindet, der numerische Wert informiert über die Distanz zwischen dem Rohwert und dessen Mittelwert in Standardabweichungseinheiten. Der Mittelwert aller z-Werte ist immer 0, Varianz und Standardabweichung sind immer 1 (xˉ=0,s2=s=1).
Ein z-Wert von 1.5 bedeutet, dass der entsprechende x-Wert 1.5 Standardabweichungen oberhalb des Mittelwertes liegt. Ein z-Wert von −0.5 dagegen bedeutet, dass der entsprechende x-Wert 0.5 Standardabweichungen unterhalb des Mittelwertes liegt.
Durch die z-Transformation gehen zwar Informationen über die absoluten Abstände zwischen Messwerten verloren, gleichzeitig gewinnt man Informationen über die relativen Abstände zwischen Messwerten. Gleichzeitig lässt sich eine normalverteilte Variable über die z-Transformation in eine Standardnormalverteilung transformieren (xˉ=0,s2=s=1).
Im folgenden Lernvideo sehen Sie ein Beispiel der z-Standardisierung. Alternativ finden Sie unterhalb des Lernvideos ein weiteres Textbeispiel.
Beispiel: Bei einer Verteilung von IQ-Werten mit xˉ=100 und s=15 würde ein Rohwert x=130 einem z-Wert von z=+2,00 entsprechen.
Da der Wert ein positives Vorzeichen aufweist, liegt der Rohwert oberhalb des Mittelwertes. Der Rohwert befindet sich außerdem zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert (da 30 Punkte über Mittelwert).
