Verteilungsformen
Empirisch erhobene Daten können anhand von Häufigkeitsverteilungen tabellarisch zusammengefasst oder grafisch dargestellt werden, wie zuvor erläutert wurde. Darüber hinaus lässt sich die Form einer Verteilung in Histogrammen auch verbal beschreiben. Hier spielen die Verteilungen der drei Maße der zentralen Tendenz - Modus, Median und arithmetisches Mittel - eine Rolle.
Von einer symmetrischen Verteilung und Eingipfligkeit (unimodal) wird gesprochen, wenn die gleiche Anzahl von Werten rechts und links des Gipfels liegt. Bei dieser Verteilungsform nehmen Modus, Median und artihmetisches Mittel den gleichen Wert an (\(x_{Modus}=\tilde{x}=\bar{x}\)).
Bei einer bimodalen Verteilung erkennt man zwei Gipfel, die möglicherweise auf zwei Subgruppen innerhalb der Verteilung hinweisen. Manchmal kommen diese Gipfel mit der gleichen Häufigkeit vor, so dass der Modus in diesen Verteilungen zwei Werte annimmt. Auch wenn ein Wert eindeutig als häufigster benennbar ist, ist bei dieser Verteilungsform der Modus nicht klar interpretierbar. Median und artihmetisches Mittel nehmen sehr ähnliche Werte an.
Bei einer linkssteilen bzw. rechtsschiefen Verteilung sind die größten Datenwerte relativ weit vom Zentrum der Verteilung entfernt. Eine linkssteile bzw. rechtsschiefe Verteilung ist oft bei der Betrachtung des Einkommens zu erkennen: Die Spannweite vom Einkommen ist sehr hoch, da insbesondere einzelne sehr hohe Einkommen vorliegen. Daraus ergibt sich die linkssteile bzw. rechtsschiefe Verteilung. Der Modus befindet sich weit links, also unter den niedrigen bis mittleren Einkommen, und ist hierbei der niedrigste der drei Maße der zentralen Tendenz. Der Median liegt in der Mitte und ist deshalb größer als der Modus. Das arithmetische Mittel wird durch Ausreißer weit rechts beeinflusst und ist deshalb größer als der Median. Daher gilt: \(x_{Modus} < \tilde{x} < \bar{x}\)
Von einer rechtssteilen bzw. linksschiefen Verteilung wird gesprochen, wenn die kleinsten Datenwerte relativ weit vom Zentrum der Verteilung entfernt liegen. Anders als bei der linkssteilen bzw. rechtsschiefen Verteilung liegt die häufigste Ausprägung weit rechts, damit ist der Modus der größte der drei Maße der zentralen Tendenz. Der Median liegt in der Mitte und ist deshalb kleiner als der Modus. Das arithmetische Mittel wird stärker durch Ausreißer weit links beeinflusst und ist deshalb noch kleiner als der Median. Aus diesem Grund gilt hier: \(\bar{x} < \tilde{x} < x_{Modus}\).
Siehe auch: Bortz & Schuster (2010, Kapitel 3.2).