Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz, also die Wurzel der quadrierten durchschnittlichen Abweichung der Werte zum Mittelwert. Diese ist wieder in der Maßeinheit der Variablen zu interpretieren und wird deshalb auch häufiger genutzt. Die Standardabweichung gibt somit die durchschnittliche Abweichung der Werte zum Mittelwert an. Mit diesem Maß wird nicht die Abweichung einzelner Werte zum Mittelwert berechnet, sondern die durchschnittliche Größe der Abweichungen zum Mittelwert repräsentiert (Bortz/Schuster 2010: 31).
Berechnet wird die Standardabweichung bei einer Vollerhebung wie folgt:
\[\begin{align} \sigma &= \sqrt{\sigma^2} \\ &= \sqrt{\frac{1}{n} \ast \sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2} \\ &= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2}{n}} \end{align}\]
Bei der Anwendung einer Stichprobe gilt auch hier die Korrektur der Varianz um \(\frac{1}{n-1}\):
\[\begin{align} s &= \sqrt{s^2} \\ &= \sqrt{\frac{1}{n-1} \ast \sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2} \\ &= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2}{n-1}} \\ \end{align}\]
Die Standardabweichung ist also vereinfacht gesprochen die Wurzel der Varianz.
Nehmen wir zur Illustration das Beispiel der Varianz aus einer Stichprobe auf.
In unserem Beispiel lag die Varianz bei:
\[s = 766666.67\]
Die Standardabweichung errechnet sich daher wie folgt:
\[\begin{align} s &= \sqrt{s^2} \\ &= \sqrt{766666.67} \\ &\approx 875.6 \end{align}\]
Durchschnittlich weichen also unsere Werte um \(875.6\) Euro vom Mittelwert ab. Je höher die Standardabweichung, desto weiter streuen die Werte um den Mittelwert. Die Interpretation muss aber immer die Einheit berücksichtigen.
Siehe auch: Gehring & Weins (2009, Kapitel 6.2.5).