Konfidenzintervall
Ein Konfidenzintervall bezeichnet in den Sozialwissenschaften ein Intervall, in dem ein erwarteter Wert \(\mu\) sehr wahrscheinlich liegt. Wie wir aus der Normalverteilung wissen, bildet die Fläche unterhalb des Graphen die Wahrscheinlichkeit ab. Innerhalb dieser Flächen testen Hypothesentests, ob der angegebene Wert in diesem Intervall liegt. Für die Sozialwissenschaften hat das Intervall von [\(\mu−1.96\sigma,\mu + 1.96\sigma\)] hohe Relevanz. Dies ist das sogenannte 95%-Konfidenzintervall, da genau \(95\%\) der Fälle in diesem Intervall liegen.
Zur Wiederholung: Wir wissen, dass der Mittelwert normalverteilt ist. D.h. in \(95\%\) aller Stichproben ist das arithmetische Mittel (\(\bar{x}\)) einer Stichprobe nicht mehr als \(1.96\) Standardabweichungen von \(\mu\) entfernt. Ein Intervall von \(1.96\) Standardabweichungen um \(\mu\) schließt mit einer Sicherheit von \(95\%\) den \(x\)-Wert ein. Denn nur \(2.5\%\) der Fläche liegen oberhalb bzw. unterhalb von \(1.96\) bzw. \(−1.96\) Standardabweichungen. Anders ausgedrückt, mit \(5\%\)-Fehlerwahrscheinlichkeit kann angenommen werden, dass der \(x\)-Wert tatsächlich in diesem Intervall liegt. Als weiteres relevantes Intervall in den Sozialwissenschaften ist das Intervall \([\mu - 2.58\sigma, \mu + 2.58\sigma]\) zu nennen, da in diesem genau \(99\%\) aller Fälle liegen (\(99\%\)-Konfidenzintervall).
Die verbleibenden \(5\%\) werden als Irrtumswahrscheinlichkeit in den Sozialwissenschaften angegeben. Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Intervall \(\mu\) nicht einschließt. Diese Irrtumswahrscheinlichkeit wird mit \(\alpha\) bezeichnet. Für ein \(95\%\)-Konfidenzintervall liegt die Irrtumswahrscheinlichkeit bei \(\alpha=0.05\) (bzw. auf jeder Seite bei \(\frac{\alpha}{2} = 0.025\)), für ein \(99\%\)-Konfidenzintervall liegt die Irrtumswahrscheinlichkeit bei \(\alpha=0.01\) (bzw. auf jeder Seite bei \(\frac{\alpha}{2} = 0.005\)).