Lineare Gleichung
Die Grundannahme einer linearen Regression ist die lineare Darstellung, in der die abhängige Variable \(Y\) über eine Linearkombination mit der unabhängigen Variable \(X\) dargestellt wird:
\(y = \beta_0 + \beta_1 \ast x\)
\(\beta_0\) stellt die Konstante (engl. intercept) dar, also den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse. In manchen Veröffentlichungen wird hierfür auch ein kleines \(a\) oder \(\alpha\) verwendet. \(\beta_1\) ist die Steigung der Geraden, in diesem Fall die Steigung der abhängigen Variable \(y\) durch die unabhängige Variable \(x\) (englt. slope). Beide Variablen stellen in diesem Modell beobachtete, nicht zufällige Messwerte dar. Mithilfe einer linearen Funktion errechnen wir diese Gerade, die aus der Konstanten (\(\beta_0\)) und der Steigung (\(\beta_1\)) besteht.
Grafisch lässt sich dies leichter nachvollziehen. Nehmen wir folgende Lineardarstellung als Beispiel:
\(y = 0 + 1 \ast x\)
Die blauen Punkte stellen einzelne Fälle dar. Die Linie spiegelt die lineare Gleichung wieder, also die Darstellung mit der sich \(y\) aus der Steigung von \(x\) und einer Konstante darstellen lässt.
Nochmal zum besseren Verständnis: \(\beta_0\) stellt den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse dar, also gibt den Wert wieder, wenn \(x=0\). \(\beta_1\) dagegen gibt die Steigung bei der Erhöhung von \(x\) dar. Diese ist für jede gleiche Steigerung von \(X\) (im Beispiel 1) gleich.
