Bei Stichproben mit kleinem \(n\) und unbekannter Varianz in der Grundgesamtheit (\(\sigma_x\)) empfiehlt es sich statt der \(z\)-Verteilung die \(t\)-Verteilung für die Berechnung eines Konfidenzintervalls zu nutzen.
Bei der t-Verteilung ist abhängig von den Freiheitsgraden (\(\nu\)). Freiheitsgrade geben an, wie viele Werte in einem statistischen Ausdruck frei variieren können. In der \(t\)-Verteilung berechnen sich die Freiheitsgrade wie folgt: \(\nu = n-1\).
Neben den Freiheitsgraden muss zum Bestimmen des \(t\)-Wertes auch noch die Irrtumswahrscheinlichkeit (\(\alpha\)) festgelegt werden.
Das Konfidenzintervall berechnet sich analog wie bei der \(z\)-Verteilung:
\(\bar{x} \pm t_{(1-\frac{\alpha}{2}; n-1)} \ast {\sigma_{\bar{x}}}\)
Untergrenze Intervall: \(x_U = \bar{x} - t_{(1-\frac{\alpha}{2}; n-1)} \ast {\sigma_{\bar{x}}}\)
Obergrenze Intervall: \(x_O = \bar{x} + t_{(1-\frac{\alpha}{2}; n-1)} \ast {\sigma_{\bar{x}}}\)
wobei \(\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma_x}{\sqrt{n}}\)
Auch hier wird \(\sigma_x\) über die Stichprobe wie folgt geschätzt: \(\hat{\sigma}_x =\sqrt{\hat{\sigma}_x^2} = \sqrt{\frac{ \sum\limits_{i=1}^n (x_{i} - \bar{x})^2} {n-1}}\)