Dazu nehmen wir folgendes Beispiel an: In einem Landtag wurde ein neues Bildungsprogramm für Schulen initiiert, dass u.a. das politische Wissen der teilnehmenden Schüler:innen steigern soll. Dazu wurde vor der Teilnahme und nach der Teilnahme jeweils das politische Wissen gemessen. Von jeder Schüler:in liegen also zwei Messwerte vor: einmal das politische Wissen vor der Teilnahme (\(x_1\)) und einmal das politische Wissen nach der Teilnahme (\(x_2\)).
Wir haben folgende Messwerte für 5 fiktive Schüler:innen: \(x_1\) ist der Messwert vor der Teilnahme, \(x_2\) der Messwert nach der Teilnahme und \(d\) die Differenz zwischen \(x_1\) und \(x_2\).
| Schüler-ID | \(x_1\) | \(x_2\) | \(d\) |
|---|---|---|---|
| \(1\) | \(4\) | \(7\) | \(-3\) |
| \(2\) | \(8\) | \(8\) | \(0\) |
| \(3\) | \(3\) | \(9\) | \(-6\) |
| \(4\) | \(2\) | \(6\) | \(-4\) |
| \(5\) | \(7\) | \(10\) | \(-3\) |
Die Formel zur Berechnung des \(t\)-Tests für abhängige Stichproben lautet wie folgt:
\(t_{emp} = \frac{\bar{x}_d - \mu_d}{\hat{\sigma}_{\bar{x}_d}} = \frac{\bar{x}_d - 0}{\hat{\sigma}_{\bar{x}_d}} = \frac{\bar{x}_d}{\hat{\sigma}_{\bar{x}_d}}\)
mit \(\hat{\sigma}_{\bar{x}_d} = \frac{\hat{\sigma}_d}{\sqrt{n}}\)
und \(\hat{\sigma}_d = \frac{\sum_{i=1}^n (d_i - \bar{x}_d)^2}{n-1}\)
und \(d_i = x_{1_i} - x_{2_i}\)
und \(\bar{x}_d = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_{1_i} - x_{2_i}}\)
Die Freiheitsgrade (\(\nu\)) ergeben sich aus \(\nu = 2*n-2\), wobei \(n\) die Größe einer Gruppe ist. Bei abhängigen Stichproben muss die Gruppengröße gleich sein.
Berechnen wir nun den \(t\)-Test für abhängige Stichproben:
\(\bar{x}_d = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_{1_i} - x_{2_i}} = \frac{1}{5}*((-3) + 0 + (-6) + (-4) + (-3)) = -3.2\)
\(\hat{\sigma}_d = \frac{\sum_{i=1}^n (d_i - \bar{x}_d)^2}{n-1} = \frac{(-3-(-3.2))^2+(0-(-3.2))^2 +(-6-(-3.2))^2+(-4-(-3.2))^2+(-3-(-3.2))^2}{5-1} = 4.7\)
\(\hat{\sigma}_{\bar{x}_d} = \frac{\hat{\sigma}_d}{\sqrt{n}} = \frac{4.7}{\sqrt{5}} \approx 2.102\)
\(t_{emp} = \frac{\bar{x}_d}{\hat{\sigma}_{\bar{x}_d}} = \frac{-3.2}{2.102} \approx -1.552\)
\(\nu = 2 * n - 2 = 2 * 5 -2 = 8\)
Auch hier würde man nun den empirischen \(t\)-Wert am kritischen \(t\)-Wert überprüfen. Dies werden wir hier nur zu Illustrationszwecken machen. Wir prüfen auf das \(90\%\)-Niveau und haben insgesamt \(8\) Freiheitsgrade (\(\nu\)). Wir führen einen zweiseitigen Test durch. Der kritische \(t\)-Wert an dieser Stelle ist \(t_{krit(\nu=8; p = 0.95)} = 1.860\).
Der kritische Wert beträgt an der genannten Stelle:
\(t_{krit_{(\nu=8; p=0.95)}} = 1.860\).
Damit das errechnete Ergebnis der Signifikanz gilt, muss:
\(|t_{emp} | > t_{krit}\)
Im Beispiel ist dies nicht erfüllt: \(|-1.552| > 1.860\)
Wir haben also kein signifikantes Ergebnis in diesem Beispiel.
Hier ein weiteres Beispiel im Video: