Man kann den \(t\)-Test für abhängige Stichproben auch berechnen, wenn die Werte des Mittelwerts der Differenzen der gepaarten Mittelwerte (\(\bar{x}_d\)) sowie die Standardabweichung der Differenzen der gepaarten Mittelwerte (\(\hat{\sigma}_d\)) angegeben sind. Wir nehmen das Beispiel von oben, gehen aber nun von folgenden Werten für eine Stichprobe mit \(1.000\) Schüler:innen aus.
\(\bar{x}_d = -3.7\)
\(\hat{\sigma}_d = 1.3\)
\(n = 1000\)
Hier müssen nun nur die Rechenschritte aus dem vorherigen Beispiel ab Punkt 3 berechnet werden:
\(\hat{\sigma}_{\bar{x}_d} = \frac{\hat{\sigma}_d}{\sqrt{n}} = \frac{1.3}{\sqrt{1000}} \approx 0.041\)
\(t_{emp} = \frac{\bar{x}_d}{\hat{\sigma}_{\bar{x}_d}} = \frac{-3.7}{0.041} \approx -90.003\)
\(\nu = 2 * n -2 = 2* 1000 - 2 = 1998\)
Nun müssen wir den Betrag der Prüfgröße (\(|t_{emp}|\)) gegenüber dem kritischen Wert prüfen. Wir prüfen auf das konventionellen \(90\%\)-Niveau und haben insgesamt \(1998\) Freiheitsgrade (\(\nu\)). Wir führen einen zweiseitigen Test durch. Da die meisten \(t\)-Tabellen nur bis \(1000\) Freiheitsgrade verzeichnet sind nehmen wir approximativ den kritischen Wert an der Stelle \(t_{krit(\nu=1000; p = 0.90)}\).
Der kritische Wert beträgt an der genannten Stelle:
\(t_{krit_{(\nu=1000; p=0.90)}} = 1.282\).
Damit das errechnete Ergebnis der Signifikanz gilt, muss:
\(|t_{emp} | > t_{krit}\)
Im Beispiel ist dies erfüllt: \(|-90.003| > 1.282\)
Wir können somit schlussfolgern, dass das politische Wissen nach der Teilnahme signifikant im Mittel um \(3.7\) Punkte steigt.
Hier ein weiteres Beispiel im Video: