Nun wollen wir ein Beispiel für einen \(t\)-Test mit unabhängigen Stichproben, aber ungleichen Varianzen berechnen. Dieser Test wird auch Welch-Test oder \(t\)-Test mit Welch-Korrektur genannt. Aus einer weiteren Stichprobe haben wir folgende Werte, wobei Varianzgleichheit zwischen den Gruppen nicht gegeben ist.
Frauen: \(\bar{x}_1 = 34.14084, s_1 = 5.89673, n_1 = 884\)
Männer: \(\bar{x}_2 = 43.64809, s_2 = 11.541511, n_2 = 1023\)
Der empirische \(t\)-Wert berechnet sich wie folgt:
\(t_{emp} = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s^2_1}{n_1} + \frac{s^2_2}{n_2}}}\)
Die Anzahl der Freiheitsgrade berechnet sich bei ungleichen Varianzen wie folgt:
\(\nu = \frac{(\frac{s^2_1}{n_1}+ \frac{s^2_2}{n_2})^2}{\frac{(\frac{s^2_1}{n_1})^2}{n_1-1} + \frac{(\frac{s^2_2}{n_2})^2}{n_2-1}}\)
Setzen wir die Werte in die Formel ein:
\(t_{emp} = \frac{34.14084 - 43.64809}{\sqrt{\frac{5.89673}{884} + \frac{11.541511}{1023}}} \approx -23.089\)
\(\nu = \frac{(\frac{5.89673}{884}+ \frac{11.541511}{1023})^2}{\frac{(\frac{5.89673}{884})^2}{884-1} + \frac{(\frac{11.541511}{1023})^2}{1023-1}} \approx 1567\)
Nun müssen wir den Betrag der Prüfgröße (\(|t_{emp}|\)) gegenüber dem kritischen Wert prüfen. Wir prüfen auf das \(99\%\)-Niveau und haben insgesamt \(1567\) Freiheitsgrade (\(\nu\)). Wir führen einen einseitigen Test durch. Da die meisten \(t\)-Tabellen nur bis \(1000\) Freiheitsgrade verzeichnet sind nehmen wir approximativ den kritischen Wert an der Stelle \(t_{krit(\nu=1000; p =0.99)}\).
Der kritische Wert beträgt an der genannten Stelle:
\(t_{krit_{(\nu=1000; p=0.99)}} = 2.330\).
Damit das errechnete Ergebnis der Signifikanz gilt, muss:
\(|t_{emp} | > t_{krit}\)
Im Beispiel ist dies erfüllt: \(|-20.313| > 2.330\)
Wir können somit schlussfolgern, dass Frauen im Mittel \(6.909\) Stunden weniger als Männer in Erwerbsarbeit tätig sind.
Hier ein weiteres Beispiel im Video: