Kommen wir nun zu einem Rechenbeispiel des zweiseitigen t-Tests für unabhängige Stichproben mit gleichen Varianzen. Als Beispiel übernehmen wir die Fragestellung, die wir eingangs als Beispiel benannt haben: Weisen Frauen und Männer einen unterschiedlichen Mittelwert bei der wöchentlichen Arbeitszeit auf? Falls ja, sind diese Unterschiede statistisch signifikant?
Aus einem Survey haben wir folgende Daten:
Frauen: xˉ1=34.14084,s1=10.89673,n1=884
Männer: xˉ2=43.64809,s2=9.541511,n2=1023
Die Hypothesen zum Hypothesentest lauten: H0:μ1=μ2, Die Mittelwerte der Stichproben unterscheidet sich nicht. H1:μ1=μ2, Die Mittelwerte der Stichproben unterscheiden sich, sind nicht gleich.
Aus dem Hypothesen folgt, dass wir annehmen: μ1−μ2=0
Die Formel zur Berechnung des unabhängigen t-Tests mit gleichen Varianzen ist:
temp=σ^(xˉ1−xˉ2)xˉ1−xˉ2
Vereinfacht ausgedrückt berechnet die Prüfgröße:
temp=StandardfehlerderMittelwertdifferenzMittelwertdifferenzderStichproben
Der Standardfehler der Mittelwertdifferenz berechnet sich wie folgt:
σ^(xˉ1−xˉ2)=n1+n2−2(n1−1)∗s12+(n2−1)∗s22∗n11+n21
Nun muss nur noch die Anzahl der Freiheitsgrade errechnet werden, um den kritischen t-Wert bestimmen zu können:
ν=n1+n2−2
Nun setzen wir die Werte in die Formel ein:
σ^(xˉ1−xˉ2)=884+1023−2(884−1)∗10.896732+(1023−1)∗9.5415112∗8841+10231≈0.468
temp=0.46834.14084−43.64809≈−20.313
ν=n1+n2−2=884+1023−2=1905
Nun müssen wir den Betrag der Prüfgröße (∣temp∣) gegenüber dem kritischen Wert prüfen. Wir prüfen auf das konventionellen 95%-Niveau und haben insgesamt 1905 Freiheitsgrade (ν). Wir führen einen zweiseitigen Test durch. Da die meisten t-Tabellen nur bis 1000 Freiheitsgrade verzeichnet sind, nehmen wir approximativ den kritischen Wert an der Stelle tkrit(ν=1000;p=0.975).
Der kritische Wert beträgt an der genannten Stelle:
tkrit(ν=1000;p=0.975)=1.962.
Damit das errechnete Ergebnis der Signifikanz gilt, muss:
∣temp∣>tkrit
Im Beispiel ist dies erfüllt: ∣−20.313∣>1.962
Wir können somit schlussfolgern, dass Frauen im Mittel 6.909 Stunden weniger als Männer in Erwerbsarbeit tätig sind.
Hier ein weiteres Beispiel im Video: