Beispiele

Im Folgenden werden zwei Beispiele berechnet, die auch in dem Lernvideo nochmals erklärt werden.

bekanntes σx\sigma_x

Wir haben eine Umfrage mit 20642064 Befragten (n=2064n=2064) mit einem Durchschnittsalter von 42.742.7 Jahren (xˉAlter=42.7\bar{x}_{Alter} = 42.7) und einer Standardabweichung in der Grundgesamtheit von 11.211.2 Jahren (σAlter=11.2\sigma_{Alter} = 11.2). Wir wollen das 90%90\%-Konfidenzintervall berechnen.

n=2064n = 2064

xˉAlter=42.7\bar{x}_{Alter} = 42.7

σAlter=11.2\sigma_{Alter} = 11.2

z0.95=1.645z_{0.95} = 1.645

Geschätzter Standardfehler der Grundgesamtheit ist daher:

\(\hat{\sigma}_\bar{x} = \frac{\sigma_x}{\sqrt{n}} = \frac{11.2}{\sqrt{2064}} \approx 0.25\)

Formel zur Berechnung des Intervalls:

xˉ±z1−α2∗σxˉ\bar{x} \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}} \ast {\sigma_{\bar{x}}}

Berechnung der Grenzen:

xU=xˉ−z1−0.12∗σxˉ=42.7−1.645∗11.22064≈42.7−0.406≈42.294x_U = \bar{x} - z_{1-\frac{0.1}{2}} \ast {\sigma_{\bar{x}}} = 42.7 - 1.645 * \frac{11.2}{\sqrt{2064}} \approx 42.7 - 0.406 \approx 42.294

xO=xˉ−z1−0.12∗σxˉ=42.7+1.645∗11.22064≈42.7+0.406≈43.106x_O = \bar{x} - z_{1-\frac{0.1}{2}} \ast {\sigma_{\bar{x}}} = 42.7 + 1.645 * \frac{11.2}{\sqrt{2064}} \approx 42.7 + 0.406 \approx 43.106

Das 90%90\%-Konfidenzintervall um den Mittelwert xˉ=42.7\bar{x} = 42.7 geht von [42.294,43.106][42.294, 43.106].

Hier ein weiteres Beispiel im Video:

Unbekanntes σx\sigma_x (zz-Verteilung)

Wir haben eine Umfrage mit 15001500 Befragten (n=1500n=1500) mit einem Durchschnittsalter von 34.534.5 Jahren (xˉAlter=34.5\bar{x}_{Alter} = 34.5) und einer Standardabweichung in der Stichprobe von 44 Jahren (sAlter=4s_{Alter} = 4). Wir wollen das 99%99\%-Konfidenzintervall berechnen.

n=1500n = 1500

xˉAlter=34.5\bar{x}_{Alter} = 34.5

sAlter=4s_{Alter} = 4

z0.995=2.58z_{0.995} = 2.58

Zuerst muss nun die Standardabweichung in der Grundgesamtheit geschätzt werden (σ^x\hat{\sigma}_x):

σ^x=σ^x2=∑i=1n(xi−xˉ)2n−1=s2=s=4\hat{\sigma}_x = \sqrt{\hat{\sigma}_x^2} = \sqrt{\frac{ \sum\limits_{i=1}^n (x_{i} - \bar{x})^2} {n-1}} = \sqrt{s^2} = s = 4

Danach muss der Standardfehler geschätzt werden:

σ^xˉ=σ^xn=41500≈0.003\hat{\sigma}_{\bar{x}} = \frac {\hat{\sigma}_{x}}{\sqrt{n}} = \frac{4}{1500} \approx 0.003

Nun kann das Intervall berechnet werden:

xU=xˉ−z1−α2∗σ^xˉ=34.5−2.58∗0.003≈34.492x_U = \bar{x} - z_{1-\frac{\alpha}{2}} \ast {\hat{\sigma}_{\bar{x}}} = 34.5 - 2.58 * 0.003 \approx 34.492

xO=xˉ+z1−α2∗σ^xˉ=34.5+2.58∗0.003≈34.508x_O = \bar{x} + z_{1-\frac{\alpha}{2}} \ast {\hat{\sigma}_{\bar{x}}}= 34.5 + 2.58 * 0.003 \approx 34.508

Das 99%99\%-Konfidenzintervall um den Mittelwert xˉ=34.5\bar{x} = 34.5 geht von [34.492,34.508][34.492, 34.508].

Hier ein weiteres Beispiel im Video:

Unbekanntes σx\sigma_x (tt-Verteilung)

Wir haben eine Umfrage mit 101101 Befragten (n=101n=101) mit einem Durchschnittsalter von 51.451.4 Jahren (xˉAlter=51.4\bar{x}_{Alter} = 51.4) und einer Standardabweichung in der Stichprobe von 4.54.5 Jahren (sAlter=4.5s_{Alter} = 4.5). Wir wollen das 95%95\%-Konfidenzintervall berechnen.

n=101n = 101

xˉAlter=51.4\bar{x}_{Alter} = 51.4

sAlter=4.5s_{Alter} = 4.5

t(0.975,100)=1.984t_{(0.975, 100)} = 1.984

Zuerst muss hier nun wieder die Standardabweichung der Grundgesamtheit geschätzt werden:

σ^x=σ^x2=∑i=1n(xi−xˉ)2n−1=s2=s=4.5\hat{\sigma}_x = \sqrt{\hat{\sigma}_x^2} = \sqrt{\frac{ \sum\limits_{i=1}^n (x_{i} - \bar{x})^2} {n-1}} = \sqrt{s^2} = s = 4.5

Danach muss der Standardfehler geschätzt werden:

σ^xˉ=σ^xn=4.5101≈0.045\hat{\sigma}_{\bar{x}} = \frac {\hat{\sigma}_{x}}{\sqrt{n}} = \frac{4.5}{101} \approx 0.045

Nun kann das Intervall berechnet werden:

xU=xˉ−t(0.975,100)∗σ^xˉ=51.4−1.984∗0.045≈51.311x_U = \bar{x} - t_{(0.975, 100)} \ast {\hat{\sigma}_{\bar{x}}} = 51.4 - 1.984 * 0.045 \approx 51.311

xO=xˉ+t(0.975,100)∗σ^xˉ=51.4+1.984∗0.045≈51.579x_O = \bar{x} + t_{(0.975, 100)} \ast {\hat{\sigma}_{\bar{x}}}= 51.4 + 1.984 * 0.045 \approx 51.579

Das 95%95\%-Konfidenzintervall um den Mittelwert xˉ=51.4\bar{x} = 51.4 geht von [51.311,51.579][51.311, 51.579].

Hier ein weiteres Beispiel im Video: