Im Folgenden werden zwei Beispiele berechnet, die auch in dem Lernvideo nochmals erklärt werden.
Wir haben eine Umfrage mit \(2064\) Befragten (\(n=2064\)) mit einem Durchschnittsalter von \(42.7\) Jahren (\(\bar{x}_{Alter} = 42.7\)) und einer Standardabweichung in der Grundgesamtheit von \(11.2\) Jahren (\(\sigma_{Alter} = 11.2\)). Wir wollen das \(90\%\)-Konfidenzintervall berechnen.
\(n = 2064\)
\(\bar{x}_{Alter} = 42.7\)
\(\sigma_{Alter} = 11.2\)
\(z_{0.95} = 1.645\)
Geschätzter Standardfehler der Grundgesamtheit ist daher:
\(\hat{\sigma}_\bar{x} = \frac{\sigma_x}{\sqrt{n}} = \frac{11.2}{\sqrt{2064}} \approx 0.25\)
Formel zur Berechnung des Intervalls:
\(\bar{x} \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}} \ast {\sigma_{\bar{x}}}\)
Berechnung der Grenzen:
\(x_U = \bar{x} - z_{1-\frac{0.1}{2}} \ast {\sigma_{\bar{x}}} = 42.7 - 1.645 * \frac{11.2}{\sqrt{2064}} \approx 42.7 - 0.406 \approx 42.294\)
\(x_O = \bar{x} - z_{1-\frac{0.1}{2}} \ast {\sigma_{\bar{x}}} = 42.7 + 1.645 * \frac{11.2}{\sqrt{2064}} \approx 42.7 + 0.406 \approx 43.106\)
Das \(90\%\)-Konfidenzintervall um den Mittelwert \(\bar{x} = 42.7\) geht von \([42.294, 43.106]\).
Hier ein weiteres Beispiel im Video:
Wir haben eine Umfrage mit \(1500\) Befragten (\(n=1500\)) mit einem Durchschnittsalter von \(34.5\) Jahren (\(\bar{x}_{Alter} = 34.5\)) und einer Standardabweichung in der Stichprobe von \(4\) Jahren (\(s_{Alter} = 4\)). Wir wollen das \(99\%\)-Konfidenzintervall berechnen.
\(n = 1500\)
\(\bar{x}_{Alter} = 34.5\)
\(s_{Alter} = 4\)
\(z_{0.995} = 2.58\)
Zuerst muss nun die Standardabweichung in der Grundgesamtheit geschätzt werden (\(\hat{\sigma}_x\)):
\(\hat{\sigma}_x = \sqrt{\hat{\sigma}_x^2} = \sqrt{\frac{ \sum\limits_{i=1}^n (x_{i} - \bar{x})^2} {n-1}} = \sqrt{s^2} = s = 4\)
Danach muss der Standardfehler geschätzt werden:
\(\hat{\sigma}_{\bar{x}} = \frac {\hat{\sigma}_{x}}{\sqrt{n}} = \frac{4}{1500} \approx 0.003\)
Nun kann das Intervall berechnet werden:
\(x_U = \bar{x} - z_{1-\frac{\alpha}{2}} \ast {\hat{\sigma}_{\bar{x}}} = 34.5 - 2.58 * 0.003 \approx 34.492\)
\(x_O = \bar{x} + z_{1-\frac{\alpha}{2}} \ast {\hat{\sigma}_{\bar{x}}}= 34.5 + 2.58 * 0.003 \approx 34.508\)
Das \(99\%\)-Konfidenzintervall um den Mittelwert \(\bar{x} = 34.5\) geht von \([34.492, 34.508]\).
Hier ein weiteres Beispiel im Video:
Wir haben eine Umfrage mit \(101\) Befragten (\(n=101\)) mit einem Durchschnittsalter von \(51.4\) Jahren (\(\bar{x}_{Alter} = 51.4\)) und einer Standardabweichung in der Stichprobe von \(4.5\) Jahren (\(s_{Alter} = 4.5\)). Wir wollen das \(95\%\)-Konfidenzintervall berechnen.
\(n = 101\)
\(\bar{x}_{Alter} = 51.4\)
\(s_{Alter} = 4.5\)
\(t_{(0.975, 100)} = 1.984\)
Zuerst muss hier nun wieder die Standardabweichung der Grundgesamtheit geschätzt werden:
\(\hat{\sigma}_x = \sqrt{\hat{\sigma}_x^2} = \sqrt{\frac{ \sum\limits_{i=1}^n (x_{i} - \bar{x})^2} {n-1}} = \sqrt{s^2} = s = 4.5\)
Danach muss der Standardfehler geschätzt werden:
\(\hat{\sigma}_{\bar{x}} = \frac {\hat{\sigma}_{x}}{\sqrt{n}} = \frac{4.5}{101} \approx 0.045\)
Nun kann das Intervall berechnet werden:
\(x_U = \bar{x} - t_{(0.975, 100)} \ast {\hat{\sigma}_{\bar{x}}} = 51.4 - 1.984 * 0.045 \approx 51.311\)
\(x_O = \bar{x} + t_{(0.975, 100)} \ast {\hat{\sigma}_{\bar{x}}}= 51.4 + 1.984 * 0.045 \approx 51.579\)
Das \(95\%\)-Konfidenzintervall um den Mittelwert \(\bar{x} = 51.4\) geht von \([51.311, 51.579]\).
Hier ein weiteres Beispiel im Video: