Nutzt man die \(z\)-Verteilung muss die Standardabweichung der Grundgesamtheit (\(\sigma_x\)) bekannt sein, oder durch die Stichprobe geschätzt werden. Das Intervall berechnet sich wie folgt:
\(\bar{x} \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}} \ast {\sigma_{\bar{x}}}\)
Obergrenze Intervall:
\(x_U = \bar{x} - z_{1-\frac{\alpha}{2}} \ast {\sigma_{\bar{x}}}\)
Untergrenze Intervall:
\(x_O = \bar{x} + z_{1-\frac{\alpha}{2}} \ast {\sigma_{\bar{x}}}\)
Zur Erinnerung: Der Standardfehler des Mittelwertes (Stichprobenfehler) wird wie folgt aus der Varianz der Grundgesamtheit berechnet.
\(\sigma_{\bar{x}} = \sqrt{ \frac{\sigma^2_{x} } {n} } = \frac{ \sigma_{x}} { \sqrt{n}}\)
Für ein zweiseitiges \(99\%\)-Konfidenzintervall beträgt \(z = 2.58\), für ein zweiseitiges \(95\%\)-Konfidenzintervall beträgt \(z= 1.96\) und für ein zweiseitiges \(90\%\)-Konfidenzintervall beträgt \(z = 1.645\).
Wenn die Varianz der Grundgesamtheit (\(\sigma_x\)) nicht bekannt ist, muss auch diese geschätzt werden (\(\hat{\sigma}_x\)). Somit ergibt sich eine doppelte Schätzung. Für Stichproben mit großem \(n\) ist dies unproblematisch, bei kleinem \(n\) sollte statt der \(z\)-Verteilung die \(t\)-Verteilung genutzt werden. Die Berechnung des Konfidenzintervalls mit der \(t\)-Verteilung wird nachfolgend dargestellt.